Уточнение проекции МСК ↔ WGS-84: как Helmert + Horner deg=3 даёт субмиллиметровую точность

Введение

Любая работа с пространственными данными на местности начинается с измерения координат. Геодезист выезжает на объект и определяет положение характерных точек тахеометром или ГНСС-приёмником в режиме RTK с точностью 1-5 сантиметров. Координаты записываются в местной системе координат субъекта РФ (МСК-XX) и попадают в проектную, землеустроительную или кадастровую документацию — межевой план, технический план, проект планировки территории, материалы землеустройства.

МСК-XX — обязательная рабочая система для всех, кто готовит документы в Росреестр и проектные материалы по территории субъекта РФ: в ней ведётся реестр недвижимости, выпускаются межевые и технические планы, проекты планировки, материалы лесоустройства и землеустройства. Когда координаты в МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ сопоставляются с любой публичной WGS-84-привязкой — будь то растровая спутниковая подложкаРастровый слой-основа из спутниковых снимков, поверх которого отображаются векторные данные — даёт визуальный контекст при работе с картой (Google, Yandex, ESRI World Imagery) или векторный слой из НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика) (WFS-сервис Росреестра, который сам отдаёт объекты в проекции EPSG:3857Псевдо-Меркатор (Web Mercator) — проекция веб-карт (OSM, Google, Яндекс): координаты в метрах, искажение площади растёт к полюсам на эллипсоиде WGS-84) — возникает неожиданное расхождение: кадастровый объект сдвинут на 30-60 сантиметров относительно WGS-84-эталона. Не ошиблось оборудование, не неточна подложка. Расхождение вносит само преобразование координат между МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ и WGS-84, которое работает «фоном» в любой ГИС-системе.

Эта погрешность не случайна. Она поддаётся точному математическому описанию и снимается до субмиллиметрового уровня в production-режиме калибровки — через локальную коррекцию полиномом Хорнера степени 3 (Horner deg=3) поверх стандартного преобразования ГельмертаПреобразование Гельмерта — пересчёт координат между системами через параметры сдвига, поворота и масштаба (3- или 7-параметрическое подобное преобразование) (Helmert transformation). Параметры локальной коррекции для каждой МСК-зоныМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ рассчитываются один раз по парам координат одного и того же объекта в двух системах — из публичных источников, где такие пары доступны (НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика) Росреестра, кадастровые сервисы). Готовый pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами применяется автоматически во всех проектах в пределах зоны, без участия пользователя в калибровке.

Дальше — о том, откуда возникает 30-60-сантиметровое расхождение, почему стандартный метод не справляется и какая методология даёт субмиллиметровый результат.

Сдвиг 30-60 см на экране: что его вызывает

Когда ГИС-программа переводит координаты из WGS-84 в МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ, она применяет так называемое семипараметрическое преобразование ГельмертаПреобразование Гельмерта — пересчёт координат между системами через параметры сдвига, поворота и масштаба (3- или 7-параметрическое подобное преобразование) (Helmert transformation) — стандартный геодезический метод, описанный в ГОСТ 32453-2017 «Параметры трансформации координат». Это семь чисел, которые описывают:

• 3 сдвига (по осям X, Y, Z)
• 3 поворота (углы вокруг осей)
• 1 изменение масштаба

Семь параметров применяются ко всему региону одновременно, как к жёсткому телу. Каждая точка сдвигается, поворачивается и масштабируется одинаково.

Реальные различия между МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ и WGS-84 устроены сложнее — они включают локальные деформации, которые в семь параметров не помещаются физически. Эти деформации накапливаются из четырёх источников.

• Деформации старых геодезических сетейСамый крупный вклад. МСК-XX построены на основе СК-42Система координат 1942 года на эллипсоиде Красовского — общегосударственная геодезическая система СССР/РФ, основа для многих местных систем координат (Пулково-1942), введённой постановлением Совета Министров СССР № 760 от 7 апреля 1946 года. Точки СК-42Система координат 1942 года на эллипсоиде Красовского — общегосударственная геодезическая система СССР/РФ, основа для многих местных систем координат устанавливались в 1930-50-х годах оптическими измерениями — теодолитами с погрешностью 1-3 угловых секунды на дистанциях до 30 километров. После накопления через 5-7 шагов триангуляционной сети суммарная систематическая ошибка достигает 30-60 сантиметров. И эти ошибки разные в разных регионах.
• Региональное уравнивание МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФКаждый субъект РФ имеет свою МСК-XX, и при её построении к деформациям СК-42Система координат 1942 года на эллипсоиде Красовского — общегосударственная геодезическая система СССР/РФ, основа для многих местных систем координат прибавляются собственные ошибки регионального уравнивания (5-30 сантиметров).
• Кривизна Земли в горных районахВ горных районах (Кавказ, Урал, Алтай) кривизна Земли вносит свой вклад в нелинейные искажения.
• ТектоникаЕвразийская плита движется примерно на 2-3 сантиметра в год — в разных регионах с разной скоростью.

По научно-техническому отчёту ЦНИИГАиК «Оценка точности СК-95» (2003 год), для перехода СК-95 → WGS-84 через стандартный Гельмерт:

• Стандартная ошибка (СКОСредняя квадратическая ошибка — мера точности: корень из среднего квадрата отклонений от истинного значения; в геодезии характеризует разброс координат по осям) по оси X: 27 сантиметров
• СКОСредняя квадратическая ошибка — мера точности: корень из среднего квадрата отклонений от истинного значения; в геодезии характеризует разброс координат по осям по оси Y: 20 сантиметров
• Максимальная ошибка на типичных пунктах: 60 сантиметров
• Аномальные деформации на отдельных пунктах: до 112 сантиметров

Это та самая систематическая погрешность, которая видна на экране в виде сдвига между МСК-объектом и его WGS-84-привязкой — независимо от того, отображается ли эта привязка как растровая спутниковая подложкаРастровый слой-основа из спутниковых снимков, поверх которого отображаются векторные данные — даёт визуальный контекст при работе с картой или как векторный WFS-слойWFS (Web Feature Service) — стандарт OGC для передачи векторных объектов по сети; WFS-слой подгружает геометрию и атрибуты с удалённого сервера (например, из НСПД) напрямую в ГИС из НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика).

Как выглядят параметры Гельмерта на практике

В качестве иллюстрации порядка величин полезно показать конкретный набор семи параметров. Ниже — параметры перехода ITRF → СК-95, опубликованные в нормативной литературе. СК-95 (Постановление Правительства РФ от 28.07.2000 № 568) уже отменена с 01.01.2021 (Постановление Правительства РФ № 1240 от 24.11.2016) и заменена на ГСК-2011Геодезическая система координат 2011 года — действующая государственная система координат РФ, заменившая СК-95 для геодезического обеспечения, поэтому числа ниже — историческая иллюстрация принципа, не действующий регламент. Параметры актуального перехода ГСК-2011Геодезическая система координат 2011 года — действующая государственная система координат РФ, заменившая СК-95 для геодезического обеспечения ↔ международные системы установлены Приказом Росреестра № П/0516 от 12.11.2021 и имеют другую амплитуду поправок (порядка 10 сантиметров).

Сам набор семи параметров ITRF → СК-95:

• Сдвиги: dX = −24,65 ± 0,05 м, dY = +129,14 ± 0,14 м, dZ = +83,06 ± 0,09 м
• Углы поворота: wX = 0,067″ ± 0,005″, wY = −0,004″ ± 0,002″, wZ = 0,129″ ± 0,002″
• Масштаб: m = +0,175 ± 0,008 ppm

В этих числах видны две вещи. Порядок параметров — сдвиги порядка десятков-сотен метров, углы поворота — десятые доли угловой секунды (микрорадианы), масштаб — доли ppm (миллионные части). Эти семь чисел описывают, как сдвинуть и развернуть СК-95, чтобы она наложилась на ITRF.

Сами параметры известны с погрешностью: ±0,05 метра для сдвига, ±0,005″ для угла. Это означает, что даже идеально реализованный ГельмертПреобразование Гельмерта — пересчёт координат между системами через параметры сдвига, поворота и масштаба (3- или 7-параметрическое подобное преобразование) оставит остаточную ошибку порядка измерения этих погрешностей — что после переноса на конкретную точку даёт ту самую характерную остаточную деформацию 30-60 сантиметров.

Как локальные деформации решены в других странах

В большинстве стран локальные деформации между национальной системой координат и WGS-84 решены через публичные файлы коррекции. Канада, Германия, Австралия публикуют NTv2-сетки в открытом доступе. Дания пошла дальше и описывает свои системы координат полиномами Хорнера. Скандинавия (Норвегия, Финляндия, Швеция, Дания, Гренландия, Фарерские острова) использует velocity grids. США — гибрид сетки NADCON с локальным полиномом. Сравнение в таблице 1.

В России ситуация устроена иначе. Росреестр (по полномочиям ФЗ-431 от 30.12.2015 «О геодезии, картографии и пространственных данных» статья 7 часть 3 и постановления Правительства РФ № 1240) устанавливает параметры перехода между МСК-XX и государственной системой координат ГСК-2011Геодезическая система координат 2011 года — действующая государственная система координат РФ, заменившая СК-95 для геодезического обеспечения. Эти параметры находятся в режиме «для служебного пользования» (ДСП — режим ограниченного распространения служебной информации) или государственной тайны (по Закону РФ от 21.07.1993 № 5485-1 «О государственной тайне»). В открытый доступ они не выходят.

В итоге подавляющее большинство российских ГИС-программ работают с типичной остаточной ошибкой 30-60 сантиметров между МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ и WGS-84-привязкой — потому что нет официально утверждённого открытого способа сделать лучше. Актуальный Приказ Росреестра № П/0516 от 12.11.2021 публикует параметры перехода ГСК-2011Геодезическая система координат 2011 года — действующая государственная система координат РФ, заменившая СК-95 для геодезического обеспечения ↔ международные системы (WGS-84 G1150, ITRF-2008), но для местных МСК-XX, которые применяются в кадастровой, землеустроительной и проектной деятельности, остаётся пробел.

Что такое полином Хорнера 3-й степени

Этот пробел закрывается через локальную полиномиальную коррекцию — полином Хорнера 3-й степени, встроенный поверх стандартного преобразования ГельмертаПреобразование Гельмерта — пересчёт координат между системами через параметры сдвига, поворота и масштаба (3- или 7-параметрическое подобное преобразование). Прежде чем перейти к тому, как такой полином строится в конкретной зоне работ, полезно разобраться, что это за объект.

В простейшем виде полином — это формула, в которой берётся переменная (координата точки), возводится в степени и каждая степень умножается на свой коэффициент.

• Полином 1-й степени описывает плоскость в пространстве — это просто линейные искажения.
• Полином 2-й степени — поверхность с плавной кривизной (например, миска или седло).
• Полином 3-й степени — поверхность со сложным S-образным изгибом, способная описать неоднородности старых геодезических сетей.

В терминах геодезии полином 3-й степени описывает «карту локальных поправок» региона работ, где каждой точке (x, y) в МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ соответствует своя пара поправок (Δx, Δy), компенсирующая остаточные деформации после ГельмертаПреобразование Гельмерта — пересчёт координат между системами через параметры сдвига, поворота и масштаба (3- или 7-параметрическое подобное преобразование). В нём 10 коэффициентов на каждую координатную ось — итого 20 чисел.

В PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами это записывается так:

+step +proj=horner +deg=3 +ellps=krass
      +fwd_origin=<центр зоны>
      +fwd_u=<10 коэффициентов для X>
      +fwd_v=<10 коэффициентов для Y>
      +inv_origin=<тот же центр>
      +inv_u=<10 коэффициентов обратного преобразования>
      +inv_v=<10 коэффициентов обратного преобразования>

Forward (прямой) полином используется при загрузке WFS-объектов из НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика) в проект; inverse (обратный) — при экспорте координат из МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ в публичные форматы (KMLKeyhole Markup Language — XML-формат хранения и обмена географическими данными (точки, линии, полигоны) в WGS-84; используется Google Earth, поддерживается большинством ГИС, GeoJSONОткрытый формат на основе JSON для географических объектов и их атрибутов; координаты по умолчанию в WGS-84, широко применяется в веб-картографии). Прямой и обратный наборы коэффициентов независимы — обратный полином подгоняется отдельной процедурой наименьших квадратов на тех же входных парах, что и прямой. Это критично, потому что итеративный обратный солвер PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций численно не сходится на больших координатах МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ (около 4 миллионов метров для типичных зон РФ).

По международному реестру EPSGМеждународный реестр кодов систем координат, проекций и преобразований (European Petroleum Survey Group); каждый код, например EPSG:4326, однозначно задаёт параметры системы (European Petroleum Survey Group) этот класс трансформаций называется Method 9646 «General polynomial of degree 3» — стандартный EPSG-метод для полиномиальных трансформаций 2D степени 3.

Как это работает в проекте

Параметры локальной коррекции для каждой МСК-зоныМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ рассчитаны заранее и встроены в плагин. На стороне пользователя процесс выглядит так:

1. Пользователь открывает или создаёт проект в QGIS с плагином Daman.
2. Плагин определяет МСК-зонуМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ проекта (по региону и зоне в метаданных) и подгружает готовый pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами локальной коррекции для этой зоны.
3. PipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами регистрируется в текущем проекте как часть его системы координат — через стандартный механизм PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций библиотеки. Никаких ручных настроек или калибровок от пользователя не требуется.
4. При любых операциях с координатами — загрузка WFS-слоёв из НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика), импорт данных в EPSG:3857Псевдо-Меркатор (Web Mercator) — проекция веб-карт (OSM, Google, Яндекс): координаты в метрах, искажение площади растёт к полюсам, экспорт в KMLKeyhole Markup Language — XML-формат хранения и обмена географическими данными (точки, линии, полигоны) в WGS-84; используется Google Earth, поддерживается большинством ГИС/GeoJSONОткрытый формат на основе JSON для географических объектов и их атрибутов; координаты по умолчанию в WGS-84, широко применяется в веб-картографии в WGS-84 — преобразование между МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ и WGS-84 применяется автоматически с локальной коррекцией.

В результате WFS-слойWFS (Web Feature Service) — стандарт OGC для передачи векторных объектов по сети; WFS-слой подгружает геометрию и атрибуты с удалённого сервера (например, из НСПД) напрямую в ГИС из НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика) ложится на МСК-объект на экране без сдвига, а координаты при экспорте и обратном импорте сохраняют сантиметровую точность.

Что получается на выходе

После калибровки координаты объекта в МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ и того же объекта в публичной WGS-84-привязке совпадают на экране с субмиллиметровой точностью в production-режиме — на несколько порядков меньше типичной деформации стандартного ГельмертаПреобразование Гельмерта — пересчёт координат между системами через параметры сдвига, поворота и масштаба (3- или 7-параметрическое подобное преобразование) (таблица 2).

Третья строка — эталонный замер на специально подобранной зоне 270×420 км с тщательно равномерным распределением точек: показывает предел метода при идеальных условиях. Большая зона калибровки уменьшает экстраполяционный шум полинома Хорнера на границах, а равномерное распределение исключает эффект РунгеФеномен Рунге — нежелательные колебания при интерполяции полиномом высокой степени на равномерных узлах: к краям интервала погрешность резко растёт. Production-режим Daman (вторая строка) использует минимум 30 контрольных точек на МСК-зонуМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ с добором по 5 точек при остаточном отклонении выше 0,5 см на любой контрольной точке — до полной сходимости. Фактическая погрешность калибровки стремится к субмиллиметровой и значительно меньше точности геодезического измерения.

Расчёт параметров локальной коррекции выполняется один раз на МСК-зонуМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ. После этого pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами применяется автоматически ко всем проектам в её пределах — координаты ведут себя стабильно и воспроизводимо. Субмиллиметровая точность преобразования в production-режиме с большим запасом ложится в нормативную точность представления координат — 0,01 м, два знака после запятой при метрах в межевом и техническом плане, проектной документации. Запас по точности исключает накопительные погрешности при повторных операциях в одной зоне: один и тот же объект, дважды загруженный или экспортированный через pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами, возвращает идентичные координаты до сантиметра.

После калибровки погрешность преобразования становится меньше точности самого геодезического измерения тахеометром (1-5 сантиметров). Систематическая ошибка устраняется до уровня случайного шума.

Три типа точности при работе с координатами

На практике часто смешиваются разные понятия точности. Полезно их разделить явно (таблица 3).

Технические ловушки реализации

Этот раздел — детали для разработчиков интеграции PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций/QGIS. При использовании готового pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами в плагине разбираться в них не требуется — он сам перехватывает все три ловушки. Для понимания методики раздел можно пропустить.

Помимо самой математики метод обходит несколько технических ловушек, специфичных для работы с пользовательскими CRSСистема координат (Coordinate Reference System) — набор правил, привязывающий координаты к положению на земной поверхности: эллипсоид, проекция, единицы, начало отсчёта в современных версиях PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций и QGIS.

PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций автоматически генерирует BOUNDCRS-обёртку при первом обращении к custom CRSСистема координат (Coordinate Reference System) — набор правил, привязывающий координаты к положению на земной поверхности: эллипсоид, проекция, единицы, начало отсчёта — её приходится явно перехватывать, иначе встроенный Helmert + Horner pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами молча подменяется на стандартный +towgs84.

Устаревшие координатные операции, остающиеся в proj.db от предыдущих сессий, очищаются перед регистрацией новой системы — иначе PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций выберет «более старшую» операцию из своего реестра.

REMARK-секцияТекстовый блок REMARK[] в WKT2-описании системы координат или преобразования — хранит пояснения и метаданные (метод вывода, точность), не влияя на сам расчёт WKT2:2019, в которой живёт сам pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами, при downgrade через WKT1-конверсию теряется без специальной обработки.

Это детали реализации, а не математическая часть метода. Без их учёта точность тихо падает обратно к 30-60 сантиметрам.

Юридический контекст

Параметры локальной коррекции специфичны для МСК-зоны: они рассчитываются один раз по локальному набору контрольных точек этой зоны и применяются ко всем проектам в её пределах. Полученные 20 коэффициентов не воспроизводят официальную таблицу перехода МСКМестная система координат — региональная система, заданная параметрами связи с государственной, применяется для кадастровых и землеустроительных работ в конкретном субъекте РФ → ГСК-2011Геодезическая система координат 2011 года — действующая государственная система координат РФ, заменившая СК-95 для геодезического обеспечения — они описывают компенсацию деформаций конкретной зоны на основе публично доступных сопоставлений координат и включают шум измерения этого набора. Это локальная инженерная калибровка зоны, не реверс защищённого норматива.

Открытость всех компонентов

Все составляющие метода — открытые и доступные.

PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций — open-source библиотека геодезических преобразований, доступная в любой ГИС-системе на её основе (QGIS, GDAL, PostGIS, GeoServer). Документация:

• Helmert: proj.org/operations/transformations/helmert.html
• Horner: proj.org/operations/transformations/horner.html
• PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций pipeline: proj.org/operations/pipeline.html

Метод наименьших квадратов — стандартная вычислительная процедура, описана в любом учебнике математической статистики.

EPSG-каталог методов трансформации — открытый международный реестр на epsg.io. Horner deg=3 — Method 9646; Helmert Position Vector — Method 9606. Подробное описание этих и других EPSG-методов координатных трансформаций — в IOGP Geomatics Guidance Note 7, part 2 «Coordinate Conversions and Transformations including Formulas» (прямой PDF).

Контрольные точки для калибровки берутся из НСПДНациональная система пространственных данных — федеральная ГИС Росреестра: доступ к пространственным данным и сервисам (публичная кадастровая карта, базовые карты, аналитика) (nspd.gov.ru) — публичного сервиса Росреестра.

Готовый PROJОткрытая библиотека пересчёта координат между системами и проекциями; стандарт де-факто в ГИС (QGIS, GDAL), оперирует пайплайнами операций pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами (Helmert + Horner) может быть встроен в любой проект QGIS через стандартный механизм пользовательских CRSСистема координат (Coordinate Reference System) — набор правил, привязывающий координаты к положению на земной поверхности: эллипсоид, проекция, единицы, начало отсчёта — формат WKT2:2019 (стандарт ISO 19162:2019), который поддерживает запись произвольных трансформационных pipelineПайплайн PROJ — цепочка элементарных операций пересчёта координат, выполняемых последовательно (сдвиг, поворот, смена проекции) для сложного преобразования между системами'ов через REMARK-секциюТекстовый блок REMARK[] в WKT2-описании системы координат или преобразования — хранит пояснения и метаданные (метод вывода, точность), не влияя на сам расчёт.